다음을 풀어보세요: {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$9x+13y=9$$

수식의 양쪽에서 13y을(를) 뺍니다.

$$9x=-13y+9$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

\frac{1}{9}에 -13y+9을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

다른 수식 2x+y=11에서 -\frac{13y}{9}+1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

2에 -\frac{13y}{9}+1을(를) 곱합니다.

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

-\frac{26y}{9}을(를) y에 추가합니다.

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$-\frac{17}{9}y=9$$

수식의 양쪽을 -\frac{17}{9}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{81}{17}$$

x=-\frac{13}{9}y+1에서 y을(를) -\frac{81}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{13}{9}에 -\frac{81}{17}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{117}{17}+1$$

1을(를) \frac{117}{17}에 추가합니다.

$$x=\frac{134}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

9x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

단순화합니다.

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 18x+26y=18에서 18x+9y=99을(를) 뺍니다.

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

18x을(를) -18x에 추가합니다. 18x 및 -18x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$26y-9y=18-99$$

26y을(를) -9y에 추가합니다.

$$17y=18-99$$

18을(를) -99에 추가합니다.

$$17y=-81$$

양쪽을 17(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{81}{17}$$

2x+y=11에서 y을(를) -\frac{81}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

수식의 양쪽에 \frac{81}{17}을(를) 더합니다.

$$2x=\frac{268}{17}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{134}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$