다음을 풀어보세요: {l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$80x+160y=4$$

수식의 양쪽에서 160y을(를) 뺍니다.

$$80x=-160y+4$$

양쪽을 80(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

\frac{1}{80}에 -160y+4을(를) 곱합니다.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

다른 수식 5600x+5600y=5536에서 -2y+\frac{1}{20}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

5600에 -2y+\frac{1}{20}을(를) 곱합니다.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

-11200y을(를) 5600y에 추가합니다.

$$-5600y+280=5536$$

수식의 양쪽에서 280을(를) 뺍니다.

$$-5600y=5256$$

양쪽을 -5600(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{657}{700}$$

x=-2y+\frac{1}{20}에서 y을(를) -\frac{657}{700}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

-2에 -\frac{657}{700}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{20}을(를) \frac{657}{350}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1349}{700}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

80x 및 5600x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5600을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 80을(를) 곱합니다.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

단순화합니다.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 448000x+896000y=22400에서 448000x+448000y=442880을(를) 뺍니다.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

448000x을(를) -448000x에 추가합니다. 448000x 및 -448000x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

896000y을(를) -448000y에 추가합니다.

$$448000y=22400-442880$$

22400을(를) -442880에 추가합니다.

$$448000y=-420480$$

양쪽을 448000(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{657}{700}$$

5600x+5600y=5536에서 y을(를) -\frac{657}{700}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

5600에 -\frac{657}{700}을(를) 곱합니다.

$$5600x-5256=5536$$

수식의 양쪽에 5256을(를) 더합니다.

$$5600x=10792$$

양쪽을 5600(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1349}{700}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$