다음을 풀어보세요: {l}{8x-7y=16}{-x+y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 7 y = 16 } \\ { - x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=9$$

$$y=8$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$8x-7y=16,-x+y=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$8x-7y=16$$

수식의 양쪽에 7y을(를) 더합니다.

$$8x=7y+16$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{8}\left(7y+16\right)$$

\frac{1}{8}에 7y+16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7}{8}y+2$$

다른 수식 -x+y=-1에서 \frac{7y}{8}+2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(\frac{7}{8}y+2\right)+y=-1$$

-1에 \frac{7y}{8}+2을(를) 곱합니다.

$$-\frac{7}{8}y-2+y=-1$$

-\frac{7y}{8}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{1}{8}y-2=-1$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$\frac{1}{8}y=1$$

양쪽에 8을(를) 곱합니다.

$$y=8$$

x=\frac{7}{8}y+2에서 y을(를) 8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{7}{8}\times 8+2$$

\frac{7}{8}에 8을(를) 곱합니다.

$$x=7+2$$

2을(를) 7에 추가합니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=8$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$8x-7y=16,-x+y=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{8-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{8-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&7\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16+7\left(-1\right)\\16+8\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=9,y=8$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$8x-7y=16,-x+y=-1$$

8x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱합니다.

$$-8x-\left(-7y\right)=-16,8\left(-1\right)x+8y=8\left(-1\right)$$

단순화합니다.

$$-8x+7y=-16,-8x+8y=-8$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -8x+7y=-16에서 -8x+8y=-8을(를) 뺍니다.

$$-8x+8x+7y-8y=-16+8$$

-8x을(를) 8x에 추가합니다. -8x 및 8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$7y-8y=-16+8$$

7y을(를) -8y에 추가합니다.

$$-y=-16+8$$

-16을(를) 8에 추가합니다.

$$-y=-8$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=8$$

-x+y=-1에서 y을(를) 8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+8=-1$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$-x=-9$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=8$$