다음을 풀어보세요: {l}{8x-5y-3=0}{5*(y-3x)=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y - 3 = 0 } \\ { 5 \cdot ( y - 3 x ) = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$8x-5y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-10을(를) 5(으)로 나눠서 -2을(를) 구합니다.

$$y-3x=-2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$8x-5y=3$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$8x=5y+3$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)$$

\frac{1}{8}에 5y+3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}$$

다른 수식 -3x+y=-2에서 \frac{5y+3}{8}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2$$

-3에 \frac{5y+3}{8}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2$$

-\frac{15y}{8}을(를) y에 추가합니다.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2$$

수식의 양쪽에 \frac{9}{8}을(를) 더합니다.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}$$

수식의 양쪽을 -\frac{7}{8}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=1$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5+3}{8}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{8}을(를) \frac{5}{8}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=1$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$8x-5y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-10을(를) 5(으)로 나눠서 -2을(를) 구합니다.

$$y-3x=-2$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=1$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$8x-5y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-10을(를) 5(으)로 나눠서 -2을(를) 구합니다.

$$y-3x=-2$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

8x 및 -3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱합니다.

$$-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)$$

단순화합니다.

$$-24x+15y=-9,-24x+8y=-16$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -24x+15y=-9에서 -24x+8y=-16을(를) 뺍니다.

$$-24x+24x+15y-8y=-9+16$$

-24x을(를) 24x에 추가합니다. -24x 및 24x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$15y-8y=-9+16$$

15y을(를) -8y에 추가합니다.

$$7y=-9+16$$

-9을(를) 16에 추가합니다.

$$7y=7$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

-3x+y=-2에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3x+1=-2$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$-3x=-3$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=1$$