다음을 풀어보세요: {l}{8x+y=64}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 64 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{272}{7} = 38\frac{6}{7} \approx 38.857142857$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$8x+y=64,x+y=42$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$8x+y=64$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$8x=-y+64$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+64\right)$$

\frac{1}{8}에 -y+64을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{8}y+8$$

다른 수식 x+y=42에서 -\frac{y}{8}+8을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{8}y+8+y=42$$

-\frac{y}{8}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{7}{8}y+8=42$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$\frac{7}{8}y=34$$

수식의 양쪽을 \frac{7}{8}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{272}{7}$$

x=-\frac{1}{8}y+8에서 y을(를) \frac{272}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{272}{7}+8$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{8}에 \frac{272}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{34}{7}+8$$

8을(를) -\frac{34}{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{22}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$8x+y=64,x+y=42$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{8}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 64-\frac{1}{7}\times 42\\-\frac{1}{7}\times 64+\frac{8}{7}\times 42\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{272}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$8x+y=64,x+y=42$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x+y=64에서 x+y=42을(를) 뺍니다.

$$8x-x+y-y=64-42$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8x-x=64-42$$

8x을(를) -x에 추가합니다.

$$7x=64-42$$

64을(를) -42에 추가합니다.

$$7x=22$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{22}{7}$$

x+y=42에서 x을(를) \frac{22}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{22}{7}+y=42$$

수식의 양쪽에서 \frac{22}{7}을(를) 뺍니다.

$$y=\frac{272}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$