다음을 풀어보세요: {l}{8x+4y=-4}{4x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$8x+4y=-4$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$8x=-4y-4$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y-4\right)$$

\frac{1}{8}에 -4y-4을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

다른 수식 4x-2y=8에서 \frac{-y-1}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y=8$$

4에 \frac{-y-1}{2}을(를) 곱합니다.

$$-2y-2-2y=8$$

-2y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-4y-2=8$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$-4y=10$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{5}{2}$$

x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}에서 y을(를) -\frac{5}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{2}에 -\frac{5}{2}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{2}을(를) \frac{5}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{3}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-4\right)+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{1}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

8x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱합니다.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\left(-4\right),8\times 4x+8\left(-2\right)y=8\times 8$$

단순화합니다.

$$32x+16y=-16,32x-16y=64$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 32x+16y=-16에서 32x-16y=64을(를) 뺍니다.

$$32x-32x+16y+16y=-16-64$$

32x을(를) -32x에 추가합니다. 32x 및 -32x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$16y+16y=-16-64$$

16y을(를) 16y에 추가합니다.

$$32y=-16-64$$

-16을(를) -64에 추가합니다.

$$32y=-80$$

양쪽을 32(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{5}{2}$$

4x-2y=8에서 y을(를) -\frac{5}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-2\left(-\frac{5}{2}\right)=8$$

-2에 -\frac{5}{2}을(를) 곱합니다.

$$4x+5=8$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$4x=3$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$