다음을 풀어보세요: {l}{8a-b=9}{4a+9b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$8a-b=9$$

수식의 양쪽에 b을(를) 더합니다.

$$8a=b+9$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

\frac{1}{8}에 b+9을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

다른 수식 4a+9b=7에서 \frac{9+b}{8}을(를) a(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

4에 \frac{9+b}{8}을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

\frac{b}{2}을(를) 9b에 추가합니다.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{9}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{19}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=\frac{5}{19}$$

a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}에서 b을(를) \frac{5}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{1}{8}에 \frac{5}{19}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{8}을(를) \frac{5}{152}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=\frac{22}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

8a 및 4a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱합니다.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

단순화합니다.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 32a-4b=36에서 32a+72b=56을(를) 뺍니다.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

32a을(를) -32a에 추가합니다. 32a 및 -32a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4b-72b=36-56$$

-4b을(를) -72b에 추가합니다.

$$-76b=36-56$$

36을(를) -56에 추가합니다.

$$-76b=-20$$

양쪽을 -76(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{5}{19}$$

4a+9b=7에서 b을(를) \frac{5}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

9에 \frac{5}{19}을(를) 곱합니다.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{45}{19}을(를) 뺍니다.

$$4a=\frac{88}{19}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{22}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$