다음을 풀어보세요: {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=6$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$8+4x-2y=0$$

양쪽 모두에서 8을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$4x-2y=-8$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-4x+3y=14$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x-2y=-8$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$4x=2y-8$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

\frac{1}{4}에 -8+2y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

다른 수식 -4x+3y=14에서 \frac{y}{2}-2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

-4에 \frac{y}{2}-2을(를) 곱합니다.

$$-2y+8+3y=14$$

-2y을(를) 3y에 추가합니다.

$$y+8=14$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$y=6$$

x=\frac{1}{2}y-2에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

\frac{1}{2}에 6을(를) 곱합니다.

$$x=3-2$$

-2을(를) 3에 추가합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=6$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$8+4x-2y=0$$

양쪽 모두에서 8을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$4x-2y=-8$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-4x+3y=14$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=6$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$8+4x-2y=0$$

양쪽 모두에서 8을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$4x-2y=-8$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-4x+3y=14$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

4x 및 -4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

단순화합니다.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -16x+8y=32에서 -16x+12y=56을(를) 뺍니다.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

-16x을(를) 16x에 추가합니다. -16x 및 16x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8y-12y=32-56$$

8y을(를) -12y에 추가합니다.

$$-4y=32-56$$

32을(를) -56에 추가합니다.

$$-4y=-24$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

-4x+3y=14에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-4x+3\times 6=14$$

3에 6을(를) 곱합니다.

$$-4x+18=14$$

수식의 양쪽에서 18을(를) 뺍니다.

$$-4x=-4$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=6$$