다음을 풀어보세요: {l}{7x-3y=-5}{3x+2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 3 y = - 5 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x-3y=-5,3x+2y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x-3y=-5$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$7x=3y-5$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(3y-5\right)$$

\frac{1}{7}에 3y-5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{7}y-\frac{5}{7}$$

다른 수식 3x+2y=11에서 \frac{3y-5}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{3}{7}y-\frac{5}{7}\right)+2y=11$$

3에 \frac{3y-5}{7}을(를) 곱합니다.

$$\frac{9}{7}y-\frac{15}{7}+2y=11$$

\frac{9y}{7}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{23}{7}y-\frac{15}{7}=11$$

수식의 양쪽에 \frac{15}{7}을(를) 더합니다.

$$\frac{23}{7}y=\frac{92}{7}$$

수식의 양쪽을 \frac{23}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=4$$

x=\frac{3}{7}y-\frac{5}{7}에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{7}\times 4-\frac{5}{7}$$

\frac{3}{7}에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{12-5}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{5}{7}을(를) \frac{12}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x-3y=-5,3x+2y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{7\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{7}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\left(-5\right)+\frac{3}{23}\times 11\\-\frac{3}{23}\left(-5\right)+\frac{7}{23}\times 11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x-3y=-5,3x+2y=11$$

7x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$3\times 7x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right),7\times 3x+7\times 2y=7\times 11$$

단순화합니다.

$$21x-9y=-15,21x+14y=77$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 21x-9y=-15에서 21x+14y=77을(를) 뺍니다.

$$21x-21x-9y-14y=-15-77$$

21x을(를) -21x에 추가합니다. 21x 및 -21x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-9y-14y=-15-77$$

-9y을(를) -14y에 추가합니다.

$$-23y=-15-77$$

-15을(를) -77에 추가합니다.

$$-23y=-92$$

양쪽을 -23(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

3x+2y=11에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+2\times 4=11$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$3x+8=11$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$3x=3$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=4$$