다음을 풀어보세요: {l}{7x=y-39}{11x=y+9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y - 39 } \\ { 11 x = y + 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=12$$

$$y=123$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$7x-y=-39$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$11x-y=9$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x-y=-39$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$7x=y-39$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-39\right)$$

\frac{1}{7}에 y-39을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}$$

다른 수식 11x-y=9에서 \frac{-39+y}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$11\left(\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}\right)-y=9$$

11에 \frac{-39+y}{7}을(를) 곱합니다.

$$\frac{11}{7}y-\frac{429}{7}-y=9$$

\frac{11y}{7}을(를) -y에 추가합니다.

$$\frac{4}{7}y-\frac{429}{7}=9$$

수식의 양쪽에 \frac{429}{7}을(를) 더합니다.

$$\frac{4}{7}y=\frac{492}{7}$$

수식의 양쪽을 \frac{4}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=123$$

x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}에서 y을(를) 123(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{7}\times 123-\frac{39}{7}$$

\frac{1}{7}에 123을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{123-39}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{39}{7}을(를) \frac{123}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=12$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=12,y=123$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$7x-y=-39$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$11x-y=9$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-39\right)+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{11}{4}\left(-39\right)+\frac{7}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\123\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=12,y=123$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$7x-y=-39$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$11x-y=9$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 7x-y=-39에서 11x-y=9을(를) 뺍니다.

$$7x-11x-y+y=-39-9$$

-y을(를) y에 추가합니다. -y 및 y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$7x-11x=-39-9$$

7x을(를) -11x에 추가합니다.

$$-4x=-39-9$$

-39을(를) -9에 추가합니다.

$$-4x=-48$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=12$$

11x-y=9에서 x을(를) 12(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$11\times 12-y=9$$

11에 12을(를) 곱합니다.

$$132-y=9$$

수식의 양쪽에서 132을(를) 뺍니다.

$$-y=-123$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=123$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=12,y=123$$