다음을 풀어보세요: {l}{7x+y=-9}{-3x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + y = - 9 } \\ { - 3 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-1$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x+y=-9$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$7x=-y-9$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y-9\right)$$

\frac{1}{7}에 -y-9을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}$$

다른 수식 -3x-y=5에서 \frac{-y-9}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3\left(-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}\right)-y=5$$

-3에 \frac{-y-9}{7}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3}{7}y+\frac{27}{7}-y=5$$

\frac{3y}{7}을(를) -y에 추가합니다.

$$-\frac{4}{7}y+\frac{27}{7}=5$$

수식의 양쪽에서 \frac{27}{7}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{4}{7}y=\frac{8}{7}$$

수식의 양쪽을 -\frac{4}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2\right)-\frac{9}{7}$$

-\frac{1}{7}에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2-9}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{9}{7}을(를) \frac{2}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{3}{4}\left(-9\right)-\frac{7}{4}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-1,y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

7x 및 -3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$-3\times 7x-3y=-3\left(-9\right),7\left(-3\right)x+7\left(-1\right)y=7\times 5$$

단순화합니다.

$$-21x-3y=27,-21x-7y=35$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -21x-3y=27에서 -21x-7y=35을(를) 뺍니다.

$$-21x+21x-3y+7y=27-35$$

-21x을(를) 21x에 추가합니다. -21x 및 21x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-3y+7y=27-35$$

-3y을(를) 7y에 추가합니다.

$$4y=27-35$$

27을(를) -35에 추가합니다.

$$4y=-8$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

-3x-y=5에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3x-\left(-2\right)=5$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$-3x=3$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=-2$$