다음을 풀어보세요: {l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-7$$

$$y=8$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x+8y=15$$

수식의 양쪽에서 8y을(를) 뺍니다.

$$7x=-8y+15$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

\frac{1}{7}에 -8y+15을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

다른 수식 9x+8y=1에서 \frac{-8y+15}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

9에 \frac{-8y+15}{7}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

-\frac{72y}{7}을(를) 8y에 추가합니다.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

수식의 양쪽에서 \frac{135}{7}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

수식의 양쪽을 -\frac{16}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=8$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}에서 y을(를) 8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

-\frac{8}{7}에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{15}{7}을(를) -\frac{64}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-7,y=8$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-7,y=8$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 7x+8y=15에서 9x+8y=1을(를) 뺍니다.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

8y을(를) -8y에 추가합니다. 8y 및 -8y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$7x-9x=15-1$$

7x을(를) -9x에 추가합니다.

$$-2x=15-1$$

15을(를) -1에 추가합니다.

$$-2x=14$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-7$$

9x+8y=1에서 x을(를) -7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

9에 -7을(를) 곱합니다.

$$-63+8y=1$$

수식의 양쪽에 63을(를) 더합니다.

$$8y=64$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-7,y=8$$