다음을 풀어보세요: {l}{7x+6y=18}{x=4-y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = 18 } \\ { x = 4 - \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=6$$

$$y=-4$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{y}{2}을(를) 더합니다.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$2x+y=8$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x+6y=18$$

수식의 양쪽에서 6y을(를) 뺍니다.

$$7x=-6y+18$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y+18\right)$$

\frac{1}{7}에 -6y+18을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}$$

다른 수식 2x+y=8에서 \frac{-6y+18}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}\right)+y=8$$

2에 \frac{-6y+18}{7}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{36}{7}+y=8$$

-\frac{12y}{7}을(를) y에 추가합니다.

$$-\frac{5}{7}y+\frac{36}{7}=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{36}{7}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{20}{7}$$

수식의 양쪽을 -\frac{5}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-4$$

x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}에서 y을(를) -4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{6}{7}\left(-4\right)+\frac{18}{7}$$

-\frac{6}{7}에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{24+18}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{18}{7}을(를) \frac{24}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=6,y=-4$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{y}{2}을(를) 더합니다.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$2x+y=8$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-6\times 2}&-\frac{6}{7-6\times 2}\\-\frac{2}{7-6\times 2}&\frac{7}{7-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 18+\frac{6}{5}\times 8\\\frac{2}{5}\times 18-\frac{7}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=6,y=-4$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{y}{2}을(를) 더합니다.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$2x+y=8$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

7x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$2\times 7x+2\times 6y=2\times 18,7\times 2x+7y=7\times 8$$

단순화합니다.

$$14x+12y=36,14x+7y=56$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 14x+12y=36에서 14x+7y=56을(를) 뺍니다.

$$14x-14x+12y-7y=36-56$$

14x을(를) -14x에 추가합니다. 14x 및 -14x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y-7y=36-56$$

12y을(를) -7y에 추가합니다.

$$5y=36-56$$

36을(를) -56에 추가합니다.

$$5y=-20$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=-4$$

2x+y=8에서 y을(를) -4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-4=8$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$2x=12$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=6,y=-4$$