다음을 풀어보세요: {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x+5y=12$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$7x=-5y+12$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

\frac{1}{7}에 -5y+12을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

다른 수식 8x-2y=7에서 \frac{-5y+12}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

8에 \frac{-5y+12}{7}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

-\frac{40y}{7}을(를) -2y에 추가합니다.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{96}{7}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

수식의 양쪽을 -\frac{54}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{47}{54}$$

x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}에서 y을(를) \frac{47}{54}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{7}에 \frac{47}{54}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{12}{7}을(를) -\frac{235}{378}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{59}{54}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

7x 및 8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

단순화합니다.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 56x+40y=96에서 56x-14y=49을(를) 뺍니다.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

56x을(를) -56x에 추가합니다. 56x 및 -56x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$40y+14y=96-49$$

40y을(를) 14y에 추가합니다.

$$54y=96-49$$

96을(를) -49에 추가합니다.

$$54y=47$$

양쪽을 54(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{47}{54}$$

8x-2y=7에서 y을(를) \frac{47}{54}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

-2에 \frac{47}{54}을(를) 곱합니다.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

수식의 양쪽에 \frac{47}{27}을(를) 더합니다.

$$8x=\frac{236}{27}$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{59}{54}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$