다음을 풀어보세요: {l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x+4y=52$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$7x=-4y+52$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

\frac{1}{7}에 -4y+52을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

다른 수식 4x-4y=-8에서 \frac{-4y+52}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

4에 \frac{-4y+52}{7}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

-\frac{16y}{7}을(를) -4y에 추가합니다.

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

수식의 양쪽에서 \frac{208}{7}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

수식의 양쪽을 -\frac{44}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=6$$

x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

-\frac{4}{7}에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{52}{7}을(를) -\frac{24}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

7x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

단순화합니다.

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 28x+16y=208에서 28x-28y=-56을(를) 뺍니다.

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

28x을(를) -28x에 추가합니다. 28x 및 -28x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$16y+28y=208+56$$

16y을(를) 28y에 추가합니다.

$$44y=208+56$$

208을(를) 56에 추가합니다.

$$44y=264$$

양쪽을 44(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

4x-4y=-8에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-4\times 6=-8$$

-4에 6을(를) 곱합니다.

$$4x-24=-8$$

수식의 양쪽에 24을(를) 더합니다.

$$4x=16$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=6$$