다음을 풀어보세요: {l}{7x+3y=4}{2x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x+3y=4$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$7x=-3y+4$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

\frac{1}{7}에 -3y+4을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

다른 수식 2x+4y=8에서 \frac{-3y+4}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

2에 \frac{-3y+4}{7}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

-\frac{6y}{7}을(를) 4y에 추가합니다.

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{8}{7}을(를) 뺍니다.

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

수식의 양쪽을 \frac{22}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{24}{11}$$

x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}에서 y을(를) \frac{24}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{7}에 \frac{24}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{4}{7}을(를) -\frac{72}{77}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{4}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

7x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

단순화합니다.

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 14x+6y=8에서 14x+28y=56을(를) 뺍니다.

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

14x을(를) -14x에 추가합니다. 14x 및 -14x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6y-28y=8-56$$

6y을(를) -28y에 추가합니다.

$$-22y=8-56$$

8을(를) -56에 추가합니다.

$$-22y=-48$$

양쪽을 -22(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{24}{11}$$

2x+4y=8에서 y을(를) \frac{24}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

4에 \frac{24}{11}을(를) 곱합니다.

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{96}{11}을(를) 뺍니다.

$$2x=-\frac{8}{11}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{4}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$