다음을 풀어보세요: {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

w, z에 대한 해

$$z=1$$

$$w=2$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2z을(를) 뺍니다.

$$5w-2z=8$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 w을(를) 고립시켜 w에 대한 해를 찾습니다.

$$7w+2z=16$$

수식의 양쪽에서 2z을(를) 뺍니다.

$$7w=-2z+16$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

\frac{1}{7}에 -2z+16을(를) 곱합니다.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

다른 수식 5w-2z=8에서 \frac{-2z+16}{7}을(를) w(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

5에 \frac{-2z+16}{7}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

-\frac{10z}{7}을(를) -2z에 추가합니다.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{80}{7}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

수식의 양쪽을 -\frac{24}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$z=1$$

w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}에서 z을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 w에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{16}{7}을(를) -\frac{2}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$w=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$w=2,z=1$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2z을(를) 뺍니다.

$$5w-2z=8$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 w 및 z을(를) 추출합니다.

$$w=2,z=1$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2z을(를) 뺍니다.

$$5w-2z=8$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

7w 및 5w을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

단순화합니다.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 35w+10z=80에서 35w-14z=56을(를) 뺍니다.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

35w을(를) -35w에 추가합니다. 35w 및 -35w이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$10z+14z=80-56$$

10z을(를) 14z에 추가합니다.

$$24z=80-56$$

80을(를) -56에 추가합니다.

$$24z=24$$

양쪽을 24(으)로 나눕니다.

$$z=1$$

5w-2z=8에서 z을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 w에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5w-2=8$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$5w=10$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$w=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$w=2,z=1$$