다음을 풀어보세요: {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$6y+4x=27$$

수식의 양쪽에서 4x을(를) 뺍니다.

$$6y=-4x+27$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

\frac{1}{6}에 -4x+27을(를) 곱합니다.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

다른 수식 y+x=50에서 -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

-\frac{2x}{3}을(를) x에 추가합니다.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

수식의 양쪽에서 \frac{9}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{273}{2}$$

y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}에서 x을(를) \frac{273}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{2}{3}에 \frac{273}{2}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

\frac{9}{2}을(를) -91에 추가합니다.

$$y=-\frac{173}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

6y 및 y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

단순화합니다.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6y+4x=27에서 6y+6x=300을(를) 뺍니다.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

6y을(를) -6y에 추가합니다. 6y 및 -6y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4x-6x=27-300$$

4x을(를) -6x에 추가합니다.

$$-2x=27-300$$

27을(를) -300에 추가합니다.

$$-2x=-273$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{273}{2}$$

y+x=50에서 x을(를) \frac{273}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

수식의 양쪽에서 \frac{273}{2}을(를) 뺍니다.

$$y=-\frac{173}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$