다음을 풀어보세요: {l}{6x+7y=-18}{3x-4y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 7 y = - 18 } \\ { 3 x - 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-3$$

$$y=0$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x+7y=-18$$

수식의 양쪽에서 7y을(를) 뺍니다.

$$6x=-7y-18$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(-7y-18\right)$$

\frac{1}{6}에 -7y-18을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{7}{6}y-3$$

다른 수식 3x-4y=-9에서 -\frac{7y}{6}-3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{7}{6}y-3\right)-4y=-9$$

3에 -\frac{7y}{6}-3을(를) 곱합니다.

$$-\frac{7}{2}y-9-4y=-9$$

-\frac{7y}{2}을(를) -4y에 추가합니다.

$$-\frac{15}{2}y-9=-9$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$-\frac{15}{2}y=0$$

수식의 양쪽을 -\frac{15}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=0$$

x=-\frac{7}{6}y-3에서 y을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=0$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-7\times 3}&-\frac{7}{6\left(-4\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-4\right)-7\times 3}&\frac{6}{6\left(-4\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{45}&\frac{7}{45}\\\frac{1}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{45}\left(-18\right)+\frac{7}{45}\left(-9\right)\\\frac{1}{15}\left(-18\right)-\frac{2}{15}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-3,y=0$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

6x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$3\times 6x+3\times 7y=3\left(-18\right),6\times 3x+6\left(-4\right)y=6\left(-9\right)$$

단순화합니다.

$$18x+21y=-54,18x-24y=-54$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 18x+21y=-54에서 18x-24y=-54을(를) 뺍니다.

$$18x-18x+21y+24y=-54+54$$

18x을(를) -18x에 추가합니다. 18x 및 -18x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$21y+24y=-54+54$$

21y을(를) 24y에 추가합니다.

$$45y=-54+54$$

-54을(를) 54에 추가합니다.

$$45y=0$$

양쪽을 45(으)로 나눕니다.

$$y=0$$

3x-4y=-9에서 y을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x=-9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=0$$