다음을 풀어보세요: {l}{6x+5y=74}{-7x+2y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 74 } \\ { - 7 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=10$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x+5y=74$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$6x=-5y+74$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+74\right)$$

\frac{1}{6}에 -5y+74을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}$$

다른 수식 -7x+2y=-8에서 -\frac{5y}{6}+\frac{37}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-7\left(-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}\right)+2y=-8$$

-7에 -\frac{5y}{6}+\frac{37}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{35}{6}y-\frac{259}{3}+2y=-8$$

\frac{35y}{6}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{47}{6}y-\frac{259}{3}=-8$$

수식의 양쪽에 \frac{259}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{47}{6}y=\frac{235}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{47}{6}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=10$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}에서 y을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{6}\times 10+\frac{37}{3}$$

-\frac{5}{6}에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-25+37}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{37}{3}을(를) -\frac{25}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=10$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-5\left(-7\right)}&-\frac{5}{6\times 2-5\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-5\left(-7\right)}&\frac{6}{6\times 2-5\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{47}&-\frac{5}{47}\\\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{47}\times 74-\frac{5}{47}\left(-8\right)\\\frac{7}{47}\times 74+\frac{6}{47}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=10$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

6x 및 -7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$-7\times 6x-7\times 5y=-7\times 74,6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\left(-8\right)$$

단순화합니다.

$$-42x-35y=-518,-42x+12y=-48$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -42x-35y=-518에서 -42x+12y=-48을(를) 뺍니다.

$$-42x+42x-35y-12y=-518+48$$

-42x을(를) 42x에 추가합니다. -42x 및 42x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-35y-12y=-518+48$$

-35y을(를) -12y에 추가합니다.

$$-47y=-518+48$$

-518을(를) 48에 추가합니다.

$$-47y=-470$$

양쪽을 -47(으)로 나눕니다.

$$y=10$$

-7x+2y=-8에서 y을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-7x+2\times 10=-8$$

2에 10을(를) 곱합니다.

$$-7x+20=-8$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$-7x=-28$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=10$$