다음을 풀어보세요: {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x+3y=25.95$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$6x=-3y+25.95$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

\frac{1}{6}에 -3y+25.95을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

다른 수식 4x+6y=26.7에서 -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

4에 -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}을(를) 곱합니다.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

-2y을(를) 6y에 추가합니다.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

수식의 양쪽에서 \frac{173}{10}을(를) 뺍니다.

$$4y=\frac{47}{5}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{47}{20}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}에서 y을(를) \frac{47}{20}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{2}에 \frac{47}{20}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{173}{40}을(를) -\frac{47}{40}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{63}{20}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

6x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

단순화합니다.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 24x+12y=103.8에서 24x+36y=160.2을(를) 뺍니다.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

24x을(를) -24x에 추가합니다. 24x 및 -24x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

12y을(를) -36y에 추가합니다.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 103.8을(를) -160.2에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$-24y=-56.4$$

양쪽을 -24(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{47}{20}$$

4x+6y=26.7에서 y을(를) \frac{47}{20}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

6에 \frac{47}{20}을(를) 곱합니다.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

수식의 양쪽에서 \frac{141}{10}을(를) 뺍니다.

$$4x=\frac{63}{5}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{63}{20}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$