다음을 풀어보세요: {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

m, n에 대한 해

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

$$6m-5n=-9$$

수식의 양쪽에 5n을(를) 더합니다.

$$6m=5n-9$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

\frac{1}{6}에 5n-9을(를) 곱합니다.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

다른 수식 4m+3n=65에서 \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}을(를) m(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

4에 \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

\frac{10n}{3}을(를) 3n에 추가합니다.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$\frac{19}{3}n=71$$

수식의 양쪽을 \frac{19}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$n=\frac{213}{19}$$

m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}에서 n을(를) \frac{213}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{5}{6}에 \frac{213}{19}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{3}{2}을(를) \frac{355}{38}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$m=\frac{149}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 m 및 n을(를) 추출합니다.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

6m 및 4m을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

단순화합니다.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 24m-20n=-36에서 24m+18n=390을(를) 뺍니다.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

24m을(를) -24m에 추가합니다. 24m 및 -24m이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-20n-18n=-36-390$$

-20n을(를) -18n에 추가합니다.

$$-38n=-36-390$$

-36을(를) -390에 추가합니다.

$$-38n=-426$$

양쪽을 -38(으)로 나눕니다.

$$n=\frac{213}{19}$$

4m+3n=65에서 n을(를) \frac{213}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

3에 \frac{213}{19}을(를) 곱합니다.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

수식의 양쪽에서 \frac{639}{19}을(를) 뺍니다.

$$4m=\frac{596}{19}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$m=\frac{149}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$