다음을 풀어보세요: {l}{50x+20y=590}{150x+40y=1430}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 20 y = 590 } \\ { 150 x + 40 y = 1430 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=5$$

$$y=17$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$50x+20y=590,150x+40y=1430$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$50x+20y=590$$

수식의 양쪽에서 20y을(를) 뺍니다.

$$50x=-20y+590$$

양쪽을 50(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{50}\left(-20y+590\right)$$

\frac{1}{50}에 -20y+590을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{59}{5}$$

다른 수식 150x+40y=1430에서 \frac{-2y+59}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$150\left(-\frac{2}{5}y+\frac{59}{5}\right)+40y=1430$$

150에 \frac{-2y+59}{5}을(를) 곱합니다.

$$-60y+1770+40y=1430$$

-60y을(를) 40y에 추가합니다.

$$-20y+1770=1430$$

수식의 양쪽에서 1770을(를) 뺍니다.

$$-20y=-340$$

양쪽을 -20(으)로 나눕니다.

$$y=17$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{59}{5}에서 y을(를) 17(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{5}\times 17+\frac{59}{5}$$

-\frac{2}{5}에 17을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-34+59}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{59}{5}을(를) -\frac{34}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=17$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$50x+20y=590,150x+40y=1430$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}50&20\\150&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}590\\1430\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}50&20\\150&40\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&20\\150&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&20\\150&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&20\\150&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}590\\1430\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&20\\150&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}590\\1430\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&20\\150&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}590\\1430\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{50\times 40-20\times 150}&-\frac{20}{50\times 40-20\times 150}\\-\frac{150}{50\times 40-20\times 150}&\frac{50}{50\times 40-20\times 150}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}590\\1430\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{1}{50}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}590\\1430\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\times 590+\frac{1}{50}\times 1430\\\frac{3}{20}\times 590-\frac{1}{20}\times 1430\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=5,y=17$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$50x+20y=590,150x+40y=1430$$

50x 및 150x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 150을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 50을(를) 곱합니다.

$$150\times 50x+150\times 20y=150\times 590,50\times 150x+50\times 40y=50\times 1430$$

단순화합니다.

$$7500x+3000y=88500,7500x+2000y=71500$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 7500x+3000y=88500에서 7500x+2000y=71500을(를) 뺍니다.

$$7500x-7500x+3000y-2000y=88500-71500$$

7500x을(를) -7500x에 추가합니다. 7500x 및 -7500x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3000y-2000y=88500-71500$$

3000y을(를) -2000y에 추가합니다.

$$1000y=88500-71500$$

88500을(를) -71500에 추가합니다.

$$1000y=17000$$

양쪽을 1000(으)로 나눕니다.

$$y=17$$

150x+40y=1430에서 y을(를) 17(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$150x+40\times 17=1430$$

40에 17을(를) 곱합니다.

$$150x+680=1430$$

수식의 양쪽에서 680을(를) 뺍니다.

$$150x=750$$

양쪽을 150(으)로 나눕니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=17$$