다음을 풀어보세요: {l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$5y+8x=-18$$

수식의 양쪽에서 8x을(를) 뺍니다.

$$5y=-8x-18$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

\frac{1}{5}에 -8x-18을(를) 곱합니다.

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

다른 수식 5y+2x=58에서 \frac{-8x-18}{5}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

5에 \frac{-8x-18}{5}을(를) 곱합니다.

$$-8x-18+2x=58$$

-8x을(를) 2x에 추가합니다.

$$-6x-18=58$$

수식의 양쪽에 18을(를) 더합니다.

$$-6x=76$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{38}{3}$$

y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}에서 x을(를) -\frac{38}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{8}{5}에 -\frac{38}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{18}{5}을(를) \frac{304}{15}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{50}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5y+8x=-18에서 5y+2x=58을(를) 뺍니다.

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

5y을(를) -5y에 추가합니다. 5y 및 -5y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8x-2x=-18-58$$

8x을(를) -2x에 추가합니다.

$$6x=-18-58$$

-18을(를) -58에 추가합니다.

$$6x=-76$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{38}{3}$$

5y+2x=58에서 x을(를) -\frac{38}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

2에 -\frac{38}{3}을(를) 곱합니다.

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

수식의 양쪽에 \frac{76}{3}을(를) 더합니다.

$$5y=\frac{250}{3}$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{50}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$