다음을 풀어보세요: {l}{5x-7y=4}{-x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 4 } \\ { - x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-7y=4$$

수식의 양쪽에 7y을(를) 더합니다.

$$5x=7y+4$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+4\right)$$

\frac{1}{5}에 7y+4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

다른 수식 -x+2y=-3에서 \frac{7y+4}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=-3$$

-1에 \frac{7y+4}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{7}{5}y-\frac{4}{5}+2y=-3$$

-\frac{7y}{5}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{3}{5}y-\frac{4}{5}=-3$$

수식의 양쪽에 \frac{4}{5}을(를) 더합니다.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{11}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{3}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{11}{3}$$

x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}에서 y을(를) -\frac{11}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{7}{5}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{4}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{7}{5}에 -\frac{11}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{77}{15}+\frac{4}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{4}{5}을(를) -\frac{77}{15}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{13}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4+\frac{7}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

5x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-5x-\left(-7y\right)=-4,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\left(-3\right)$$

단순화합니다.

$$-5x+7y=-4,-5x+10y=-15$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -5x+7y=-4에서 -5x+10y=-15을(를) 뺍니다.

$$-5x+5x+7y-10y=-4+15$$

-5x을(를) 5x에 추가합니다. -5x 및 5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$7y-10y=-4+15$$

7y을(를) -10y에 추가합니다.

$$-3y=-4+15$$

-4을(를) 15에 추가합니다.

$$-3y=11$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{11}{3}$$

-x+2y=-3에서 y을(를) -\frac{11}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+2\left(-\frac{11}{3}\right)=-3$$

2에 -\frac{11}{3}을(를) 곱합니다.

$$-x-\frac{22}{3}=-3$$

수식의 양쪽에 \frac{22}{3}을(를) 더합니다.

$$-x=\frac{13}{3}$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{13}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$