다음을 풀어보세요: {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-3y-4=34$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$5x-3y=38$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$5x=3y+38$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

\frac{1}{5}에 3y+38을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

다른 수식 -3x+5y-18=34에서 \frac{3y+38}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

-3에 \frac{3y+38}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

-\frac{9y}{5}을(를) 5y에 추가합니다.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

-\frac{114}{5}을(를) -18에 추가합니다.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

수식의 양쪽에 \frac{204}{5}을(를) 더합니다.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{16}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{187}{8}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}에서 y을(를) \frac{187}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{3}{5}에 \frac{187}{8}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{38}{5}을(를) \frac{561}{40}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{173}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

5x 및 -3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

단순화합니다.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -15x+9y+12=-102에서 -15x+25y-90=170을(를) 뺍니다.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

-15x을(를) 15x에 추가합니다. -15x 및 15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

9y을(를) -25y에 추가합니다.

$$-16y+12+90=-102-170$$

12을(를) 90에 추가합니다.

$$-16y+102=-102-170$$

-102을(를) -170에 추가합니다.

$$-16y+102=-272$$

수식의 양쪽에서 102을(를) 뺍니다.

$$-16y=-374$$

양쪽을 -16(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{187}{8}$$

-3x+5y-18=34에서 y을(를) \frac{187}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

5에 \frac{187}{8}을(를) 곱합니다.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

\frac{935}{8}을(를) -18에 추가합니다.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

수식의 양쪽에서 \frac{791}{8}을(를) 뺍니다.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{173}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$