다음을 풀어보세요: {l}{5x-3y-2=0}{4x+7y+3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 2 = 0 } \\ { 4 x + 7 y + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-3y-2=0$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$5x-3y=2$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$5x=3y+2$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{5}에 3y+2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

다른 수식 4x+7y+3=0에서 \frac{3y+2}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y+3=0$$

4에 \frac{3y+2}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y+3=0$$

\frac{12y}{5}을(를) 7y에 추가합니다.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}+3=0$$

\frac{8}{5}을(를) 3에 추가합니다.

$$\frac{47}{5}y+\frac{23}{5}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{23}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{47}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{23}{47}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}에서 y을(를) -\frac{23}{47}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{3}{5}에 -\frac{23}{47}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{5}을(를) -\frac{69}{235}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{47}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

5x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y+4\left(-2\right)=0,5\times 4x+5\times 7y+5\times 3=0$$

단순화합니다.

$$20x-12y-8=0,20x+35y+15=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 20x-12y-8=0에서 20x+35y+15=0을(를) 뺍니다.

$$20x-20x-12y-35y-8-15=0$$

20x을(를) -20x에 추가합니다. 20x 및 -20x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-12y-35y-8-15=0$$

-12y을(를) -35y에 추가합니다.

$$-47y-8-15=0$$

-8을(를) -15에 추가합니다.

$$-47y-23=0$$

수식의 양쪽에 23을(를) 더합니다.

$$-47y=23$$

양쪽을 -47(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{23}{47}$$

4x+7y+3=0에서 y을(를) -\frac{23}{47}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)+3=0$$

7에 -\frac{23}{47}을(를) 곱합니다.

$$4x-\frac{161}{47}+3=0$$

-\frac{161}{47}을(를) 3에 추가합니다.

$$4x-\frac{20}{47}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{20}{47}을(를) 더합니다.

$$4x=\frac{20}{47}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5}{47}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$