다음을 풀어보세요: {l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1200$$

$$y=1400$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-3y=1800$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$5x=3y+1800$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

\frac{1}{5}에 1800+3y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

다른 수식 6x-4y=1600에서 \frac{3y}{5}+360을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

6에 \frac{3y}{5}+360을(를) 곱합니다.

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

\frac{18y}{5}을(를) -4y에 추가합니다.

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

수식의 양쪽에서 2160을(를) 뺍니다.

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

수식의 양쪽을 -\frac{2}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=1400$$

x=\frac{3}{5}y+360에서 y을(를) 1400(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

\frac{3}{5}에 1400을(를) 곱합니다.

$$x=840+360$$

360을(를) 840에 추가합니다.

$$x=1200$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1200,y=1400$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1200,y=1400$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

5x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

단순화합니다.

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 30x-18y=10800에서 30x-20y=8000을(를) 뺍니다.

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

30x을(를) -30x에 추가합니다. 30x 및 -30x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-18y+20y=10800-8000$$

-18y을(를) 20y에 추가합니다.

$$2y=10800-8000$$

10800을(를) -8000에 추가합니다.

$$2y=2800$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=1400$$

6x-4y=1600에서 y을(를) 1400(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x-4\times 1400=1600$$

-4에 1400을(를) 곱합니다.

$$6x-5600=1600$$

수식의 양쪽에 5600을(를) 더합니다.

$$6x=7200$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=1200$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1200,y=1400$$