다음을 풀어보세요: {l}{5x=7z}{8x=9z}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

x, z에 대한 해

$$x=0$$

$$z=0$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 7z을(를) 뺍니다.

$$5x-7z=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 9z을(를) 뺍니다.

$$8x-9z=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-7z=0$$

수식의 양쪽에 7z을(를) 더합니다.

$$5x=7z$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

\frac{1}{5}에 7z을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7}{5}z$$

다른 수식 8x-9z=0에서 \frac{7z}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

8에 \frac{7z}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

\frac{56z}{5}을(를) -9z에 추가합니다.

$$\frac{11}{5}z=0$$

수식의 양쪽을 \frac{11}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$z=0$$

x=\frac{7}{5}z에서 z을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,z=0$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 7z을(를) 뺍니다.

$$5x-7z=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 9z을(를) 뺍니다.

$$8x-9z=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 z을(를) 추출합니다.

$$x=0,z=0$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 7z을(를) 뺍니다.

$$5x-7z=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 9z을(를) 뺍니다.

$$8x-9z=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

5x 및 8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

단순화합니다.

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 40x-56z=0에서 40x-45z=0을(를) 뺍니다.

$$40x-40x-56z+45z=0$$

40x을(를) -40x에 추가합니다. 40x 및 -40x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-56z+45z=0$$

-56z을(를) 45z에 추가합니다.

$$-11z=0$$

양쪽을 -11(으)로 나눕니다.

$$z=0$$

8x-9z=0에서 z을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$8x=0$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,z=0$$