다음을 풀어보세요: {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$5x-2y=16$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$7x+2y=32$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-2y=16$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$5x=2y+16$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

\frac{1}{5}에 16+2y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

다른 수식 7x+2y=32에서 \frac{16+2y}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

7에 \frac{16+2y}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

\frac{14y}{5}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

수식의 양쪽에서 \frac{112}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{24}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=2$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

\frac{2}{5}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{16}{5}을(를) \frac{4}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=2$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$5x-2y=16$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$7x+2y=32$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=2$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$5x-2y=16$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$7x+2y=32$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

5x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

단순화합니다.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 35x-14y=112에서 35x+10y=160을(를) 뺍니다.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

35x을(를) -35x에 추가합니다. 35x 및 -35x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-14y-10y=112-160$$

-14y을(를) -10y에 추가합니다.

$$-24y=112-160$$

112을(를) -160에 추가합니다.

$$-24y=-48$$

양쪽을 -24(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

7x+2y=32에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x+2\times 2=32$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$7x+4=32$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$7x=28$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=2$$