다음을 풀어보세요: {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+y=9$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$5x=-y+9$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{5}에 -y+9을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

다른 수식 10x-7y=-18에서 \frac{-y+9}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

10에 \frac{-y+9}{5}을(를) 곱합니다.

$$-2y+18-7y=-18$$

-2y을(를) -7y에 추가합니다.

$$-9y+18=-18$$

수식의 양쪽에서 18을(를) 뺍니다.

$$-9y=-36$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

-\frac{1}{5}에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{5}을(를) -\frac{4}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

5x 및 10x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 10을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

단순화합니다.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 50x+10y=90에서 50x-35y=-90을(를) 뺍니다.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

50x을(를) -50x에 추가합니다. 50x 및 -50x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$10y+35y=90+90$$

10y을(를) 35y에 추가합니다.

$$45y=90+90$$

90을(를) 90에 추가합니다.

$$45y=180$$

양쪽을 45(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

10x-7y=-18에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$10x-7\times 4=-18$$

-7에 4을(를) 곱합니다.

$$10x-28=-18$$

수식의 양쪽에 28을(를) 더합니다.

$$10x=10$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=4$$