다음을 풀어보세요: {l}{5x+y=-1}{2x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y = \frac{37}{23} = 1\frac{14}{23} \approx 1.608695652$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+y=-1$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$5x=-y-1$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

\frac{1}{5}에 -y-1을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

다른 수식 2x+5y=7에서 \frac{-y-1}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

2에 \frac{-y-1}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}+5y=7$$

-\frac{2y}{5}을(를) 5y에 추가합니다.

$$\frac{23}{5}y-\frac{2}{5}=7$$

수식의 양쪽에 \frac{2}{5}을(를) 더합니다.

$$\frac{23}{5}y=\frac{37}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{23}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{37}{23}$$

x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}에서 y을(를) \frac{37}{23}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{37}{23}-\frac{1}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{5}에 \frac{37}{23}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{37}{115}-\frac{1}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{5}을(를) -\frac{37}{115}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{12}{23}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-1\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-1\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\\frac{37}{23}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

5x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$2\times 5x+2y=2\left(-1\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

단순화합니다.

$$10x+2y=-2,10x+25y=35$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 10x+2y=-2에서 10x+25y=35을(를) 뺍니다.

$$10x-10x+2y-25y=-2-35$$

10x을(를) -10x에 추가합니다. 10x 및 -10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2y-25y=-2-35$$

2y을(를) -25y에 추가합니다.

$$-23y=-2-35$$

-2을(를) -35에 추가합니다.

$$-23y=-37$$

양쪽을 -23(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{37}{23}$$

2x+5y=7에서 y을(를) \frac{37}{23}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+5\times \frac{37}{23}=7$$

5에 \frac{37}{23}을(를) 곱합니다.

$$2x+\frac{185}{23}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{185}{23}을(를) 뺍니다.

$$2x=-\frac{24}{23}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{12}{23}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$