다음을 풀어보세요: {l}{5x+7y=7}{3x+2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{63}{11} = 5\frac{8}{11} \approx 5.727272727$$

$$y = -\frac{34}{11} = -3\frac{1}{11} \approx -3.090909091$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+7y=7$$

수식의 양쪽에서 7y을(를) 뺍니다.

$$5x=-7y+7$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+7\right)$$

\frac{1}{5}에 -7y+7을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}$$

다른 수식 3x+2y=11에서 \frac{-7y+7}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}\right)+2y=11$$

3에 \frac{-7y+7}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{21}{5}y+\frac{21}{5}+2y=11$$

-\frac{21y}{5}을(를) 2y에 추가합니다.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{21}{5}=11$$

수식의 양쪽에서 \frac{21}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{11}{5}y=\frac{34}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{11}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{34}{11}$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}에서 y을(를) -\frac{34}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{7}{5}\left(-\frac{34}{11}\right)+\frac{7}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{7}{5}에 -\frac{34}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{238}{55}+\frac{7}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{5}을(를) \frac{238}{55}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{63}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-7\times 3}&-\frac{7}{5\times 2-7\times 3}\\-\frac{3}{5\times 2-7\times 3}&\frac{5}{5\times 2-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{7}{11}\times 11\\\frac{3}{11}\times 7-\frac{5}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{11}\\-\frac{34}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

5x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$3\times 5x+3\times 7y=3\times 7,5\times 3x+5\times 2y=5\times 11$$

단순화합니다.

$$15x+21y=21,15x+10y=55$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15x+21y=21에서 15x+10y=55을(를) 뺍니다.

$$15x-15x+21y-10y=21-55$$

15x을(를) -15x에 추가합니다. 15x 및 -15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$21y-10y=21-55$$

21y을(를) -10y에 추가합니다.

$$11y=21-55$$

21을(를) -55에 추가합니다.

$$11y=-34$$

양쪽을 11(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{34}{11}$$

3x+2y=11에서 y을(를) -\frac{34}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+2\left(-\frac{34}{11}\right)=11$$

2에 -\frac{34}{11}을(를) 곱합니다.

$$3x-\frac{68}{11}=11$$

수식의 양쪽에 \frac{68}{11}을(를) 더합니다.

$$3x=\frac{189}{11}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{63}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$