다음을 풀어보세요: {l}{5x+3y=7}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+3y=7$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$5x=-3y+7$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

\frac{1}{5}에 -3y+7을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

다른 수식 -2x+y=1에서 \frac{-3y+7}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+y=1$$

-2에 \frac{-3y+7}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{6}{5}y-\frac{14}{5}+y=1$$

\frac{6y}{5}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{11}{5}y-\frac{14}{5}=1$$

수식의 양쪽에 \frac{14}{5}을(를) 더합니다.

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{11}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{19}{11}$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}에서 y을(를) \frac{19}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{5}에 \frac{19}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{5}을(를) -\frac{57}{55}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{4}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=1$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}\times 7+\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=1$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

5x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-2\times 5x-2\times 3y=-2\times 7,5\left(-2\right)x+5y=5$$

단순화합니다.

$$-10x-6y=-14,-10x+5y=5$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -10x-6y=-14에서 -10x+5y=5을(를) 뺍니다.

$$-10x+10x-6y-5y=-14-5$$

-10x을(를) 10x에 추가합니다. -10x 및 10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6y-5y=-14-5$$

-6y을(를) -5y에 추가합니다.

$$-11y=-14-5$$

-14을(를) -5에 추가합니다.

$$-11y=-19$$

양쪽을 -11(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{19}{11}$$

-2x+y=1에서 y을(를) \frac{19}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x+\frac{19}{11}=1$$

수식의 양쪽에서 \frac{19}{11}을(를) 뺍니다.

$$-2x=-\frac{8}{11}$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{4}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$