다음을 풀어보세요: {l}{5x+3y=460.000}{3x+4y=913.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 460.000 } \\ { 3 x + 4 y = 913.000 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{899}{11} = -81\frac{8}{11} \approx -81.727272727$$

$$y = \frac{3185}{11} = 289\frac{6}{11} \approx 289.545454545$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+3y=460$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$5x=-3y+460$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+460\right)$$

\frac{1}{5}에 -3y+460을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{5}y+92$$

다른 수식 3x+4y=913에서 -\frac{3y}{5}+92을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+92\right)+4y=913$$

3에 -\frac{3y}{5}+92을(를) 곱합니다.

$$-\frac{9}{5}y+276+4y=913$$

-\frac{9y}{5}을(를) 4y에 추가합니다.

$$\frac{11}{5}y+276=913$$

수식의 양쪽에서 276을(를) 뺍니다.

$$\frac{11}{5}y=637$$

수식의 양쪽을 \frac{11}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{3185}{11}$$

x=-\frac{3}{5}y+92에서 y을(를) \frac{3185}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{3185}{11}+92$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{5}에 \frac{3185}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1911}{11}+92$$

92을(를) -\frac{1911}{11}에 추가합니다.

$$x=-\frac{899}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 460-\frac{3}{11}\times 913\\-\frac{3}{11}\times 460+\frac{5}{11}\times 913\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{899}{11}\\\frac{3185}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

5x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 460,5\times 3x+5\times 4y=5\times 913$$

단순화합니다.

$$15x+9y=1380,15x+20y=4565$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15x+9y=1380에서 15x+20y=4565을(를) 뺍니다.

$$15x-15x+9y-20y=1380-4565$$

15x을(를) -15x에 추가합니다. 15x 및 -15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$9y-20y=1380-4565$$

9y을(를) -20y에 추가합니다.

$$-11y=1380-4565$$

1380을(를) -4565에 추가합니다.

$$-11y=-3185$$

양쪽을 -11(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{3185}{11}$$

3x+4y=913에서 y을(를) \frac{3185}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+4\times \frac{3185}{11}=913$$

4에 \frac{3185}{11}을(를) 곱합니다.

$$3x+\frac{12740}{11}=913$$

수식의 양쪽에서 \frac{12740}{11}을(를) 뺍니다.

$$3x=-\frac{2697}{11}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{899}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$