다음을 풀어보세요: {l}{5x+3y=15}{2x-2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 15 } \\ { 2 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{39}{16} = 2\frac{7}{16} = 2.4375$$

$$y=\frac{15}{16}=0.9375$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+3y=15$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$5x=-3y+15$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+15\right)$$

\frac{1}{5}에 -3y+15을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{5}y+3$$

다른 수식 2x-2y=3에서 -\frac{3y}{5}+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+3\right)-2y=3$$

2에 -\frac{3y}{5}+3을(를) 곱합니다.

$$-\frac{6}{5}y+6-2y=3$$

-\frac{6y}{5}을(를) -2y에 추가합니다.

$$-\frac{16}{5}y+6=3$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$-\frac{16}{5}y=-3$$

수식의 양쪽을 -\frac{16}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{15}{16}$$

x=-\frac{3}{5}y+3에서 y을(를) \frac{15}{16}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{15}{16}+3$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{5}에 \frac{15}{16}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{9}{16}+3$$

3을(를) -\frac{9}{16}에 추가합니다.

$$x=\frac{39}{16}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 15+\frac{3}{16}\times 3\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{5}{16}\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{16}\\\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

5x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 15,5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 3$$

단순화합니다.

$$10x+6y=30,10x-10y=15$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 10x+6y=30에서 10x-10y=15을(를) 뺍니다.

$$10x-10x+6y+10y=30-15$$

10x을(를) -10x에 추가합니다. 10x 및 -10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6y+10y=30-15$$

6y을(를) 10y에 추가합니다.

$$16y=30-15$$

30을(를) -15에 추가합니다.

$$16y=15$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{15}{16}$$

2x-2y=3에서 y을(를) \frac{15}{16}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-2\times \frac{15}{16}=3$$

-2에 \frac{15}{16}을(를) 곱합니다.

$$2x-\frac{15}{8}=3$$

수식의 양쪽에 \frac{15}{8}을(를) 더합니다.

$$2x=\frac{39}{8}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{39}{16}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$