다음을 풀어보세요: {l}{5x+2y=6}{9x+2y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 9 x + 2 y = 22 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=-7$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+2y=6$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$5x=-2y+6$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

\frac{1}{5}에 -2y+6을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

다른 수식 9x+2y=22에서 \frac{-2y+6}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$9\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=22$$

9에 \frac{-2y+6}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}+2y=22$$

-\frac{18y}{5}을(를) 2y에 추가합니다.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{54}{5}=22$$

수식의 양쪽에서 \frac{54}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{8}{5}y=\frac{56}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{8}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-7$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}에서 y을(를) -7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-7\right)+\frac{6}{5}$$

-\frac{2}{5}에 -7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{14+6}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{6}{5}을(를) \frac{14}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=-7$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2\times 9}&-\frac{2}{5\times 2-2\times 9}\\-\frac{9}{5\times 2-2\times 9}&\frac{5}{5\times 2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{9}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\\\frac{9}{8}\times 6-\frac{5}{8}\times 22\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=-7$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5x+2y=6에서 9x+2y=22을(를) 뺍니다.

$$5x-9x+2y-2y=6-22$$

2y을(를) -2y에 추가합니다. 2y 및 -2y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5x-9x=6-22$$

5x을(를) -9x에 추가합니다.

$$-4x=6-22$$

6을(를) -22에 추가합니다.

$$-4x=-16$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

9x+2y=22에서 x을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$9\times 4+2y=22$$

9에 4을(를) 곱합니다.

$$36+2y=22$$

수식의 양쪽에서 36을(를) 뺍니다.

$$2y=-14$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=-7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=-7$$