다음을 풀어보세요: {l}{5x+2y=34}{7x-3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 34 } \\ { 7 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=7$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+2y=34$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$5x=-2y+34$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+34\right)$$

\frac{1}{5}에 -2y+34을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}$$

다른 수식 7x-3y=7에서 \frac{-2y+34}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}\right)-3y=7$$

7에 \frac{-2y+34}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{238}{5}-3y=7$$

-\frac{14y}{5}을(를) -3y에 추가합니다.

$$-\frac{29}{5}y+\frac{238}{5}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{238}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{29}{5}y=-\frac{203}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{29}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=7$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7+\frac{34}{5}$$

-\frac{2}{5}에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-14+34}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{34}{5}을(를) -\frac{14}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=7$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 7}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-3\right)-2\times 7}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 34+\frac{2}{29}\times 7\\\frac{7}{29}\times 34-\frac{5}{29}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=7$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

5x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$7\times 5x+7\times 2y=7\times 34,5\times 7x+5\left(-3\right)y=5\times 7$$

단순화합니다.

$$35x+14y=238,35x-15y=35$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 35x+14y=238에서 35x-15y=35을(를) 뺍니다.

$$35x-35x+14y+15y=238-35$$

35x을(를) -35x에 추가합니다. 35x 및 -35x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$14y+15y=238-35$$

14y을(를) 15y에 추가합니다.

$$29y=238-35$$

238을(를) -35에 추가합니다.

$$29y=203$$

양쪽을 29(으)로 나눕니다.

$$y=7$$

7x-3y=7에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x-3\times 7=7$$

-3에 7을(를) 곱합니다.

$$7x-21=7$$

수식의 양쪽에 21을(를) 더합니다.

$$7x=28$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=7$$