다음을 풀어보세요: {l}{5x+2y=0}{6x-1y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 0 } \\ { 6 x - 1 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{4}{17}\approx 0.235294118$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+2y=0$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$5x=-2y$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)y$$

\frac{1}{5}에 -2y을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{5}y$$

다른 수식 6x-y=2에서 -\frac{2y}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(-\frac{2}{5}\right)y-y=2$$

6에 -\frac{2y}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{12}{5}y-y=2$$

-\frac{12y}{5}을(를) -y에 추가합니다.

$$-\frac{17}{5}y=2$$

수식의 양쪽을 -\frac{17}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{10}{17}$$

x=-\frac{2}{5}y에서 y을(를) -\frac{10}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{10}{17}\right)$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{2}{5}에 -\frac{10}{17}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{4}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-2\times 6}&-\frac{2}{5\left(-1\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{5\left(-1\right)-2\times 6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{6}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 2\\-\frac{5}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

5x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$6\times 5x+6\times 2y=0,5\times 6x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

단순화합니다.

$$30x+12y=0,30x-5y=10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 30x+12y=0에서 30x-5y=10을(를) 뺍니다.

$$30x-30x+12y+5y=-10$$

30x을(를) -30x에 추가합니다. 30x 및 -30x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y+5y=-10$$

12y을(를) 5y에 추가합니다.

$$17y=-10$$

양쪽을 17(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{10}{17}$$

6x-y=2에서 y을(를) -\frac{10}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x-\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

수식의 양쪽에서 \frac{10}{17}을(를) 뺍니다.

$$6x=\frac{24}{17}$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{4}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$