다음을 풀어보세요: {l}{5x+2y=-20}{y=2x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 20 } \\ { y = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-2$$

$$y=-5$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=-1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+2y=-20,-2x+y=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+2y=-20$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$5x=-2y-20$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-20\right)$$

\frac{1}{5}에 -2y-20을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{5}y-4$$

다른 수식 -2x+y=-1에서 -\frac{2y}{5}-4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-\frac{2}{5}y-4\right)+y=-1$$

-2에 -\frac{2y}{5}-4을(를) 곱합니다.

$$\frac{4}{5}y+8+y=-1$$

\frac{4y}{5}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{9}{5}y+8=-1$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$\frac{9}{5}y=-9$$

수식의 양쪽을 \frac{9}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-5$$

x=-\frac{2}{5}y-4에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-5\right)-4$$

-\frac{2}{5}에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=2-4$$

-4을(를) 2에 추가합니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=-5$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=-1$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+2y=-20,-2x+y=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{5-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-2\left(-2\right)}&\frac{5}{5-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-20\right)-\frac{2}{9}\left(-1\right)\\\frac{2}{9}\left(-20\right)+\frac{5}{9}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-2,y=-5$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=-1$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+2y=-20,-2x+y=-1$$

5x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-2\times 5x-2\times 2y=-2\left(-20\right),5\left(-2\right)x+5y=5\left(-1\right)$$

단순화합니다.

$$-10x-4y=40,-10x+5y=-5$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -10x-4y=40에서 -10x+5y=-5을(를) 뺍니다.

$$-10x+10x-4y-5y=40+5$$

-10x을(를) 10x에 추가합니다. -10x 및 10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y-5y=40+5$$

-4y을(를) -5y에 추가합니다.

$$-9y=40+5$$

40을(를) 5에 추가합니다.

$$-9y=45$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$y=-5$$

-2x+y=-1에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x-5=-1$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$-2x=4$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=-5$$