다음을 풀어보세요: {l}{5x+(3y-2)=0}{x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + ( 3 y - 2 ) = 0 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-14$$

$$y=24$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+3y-2=0$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$5x+3y=2$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$5x=-3y+2$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

\frac{1}{5}에 -3y+2을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

다른 수식 x+y=10에서 \frac{-3y+2}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}+y=10$$

-\frac{3y}{5}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}=10$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{2}{5}y=\frac{48}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{2}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=24$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}에서 y을(를) 24(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{5}\times 24+\frac{2}{5}$$

-\frac{3}{5}에 24을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-72+2}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{5}을(를) -\frac{72}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-14$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-14,y=24$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{3}{5-3}\\-\frac{1}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-\frac{3}{2}\times 10\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{5}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\24\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-14,y=24$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

5x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=5\times 10$$

단순화합니다.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=50$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5x+3y-2=0에서 5x+5y=50을(를) 뺍니다.

$$5x-5x+3y-5y-2=-50$$

5x을(를) -5x에 추가합니다. 5x 및 -5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3y-5y-2=-50$$

3y을(를) -5y에 추가합니다.

$$-2y-2=-50$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$-2y=-48$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=24$$

x+y=10에서 y을(를) 24(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+24=10$$

수식의 양쪽에서 24을(를) 뺍니다.

$$x=-14$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-14,y=24$$