다음을 풀어보세요: {l}{5u+x=-10}{3u+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

u, x에 대한 해

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 u을(를) 고립시켜 u에 대한 해를 찾습니다.

$$5u+x=-10$$

수식의 양쪽에서 x을(를) 뺍니다.

$$5u=-x-10$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

\frac{1}{5}에 -x-10을(를) 곱합니다.

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

다른 수식 3u+3x=0에서 -\frac{x}{5}-2을(를) u(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

3에 -\frac{x}{5}-2을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

-\frac{3x}{5}을(를) 3x에 추가합니다.

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$\frac{12}{5}x=6$$

수식의 양쪽을 \frac{12}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=\frac{5}{2}$$

u=-\frac{1}{5}x-2에서 x을(를) \frac{5}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 u에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{5}에 \frac{5}{2}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

-2을(를) -\frac{1}{2}에 추가합니다.

$$u=-\frac{5}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 u 및 x을(를) 추출합니다.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

5u 및 3u을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

단순화합니다.

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15u+3x=-30에서 15u+15x=0을(를) 뺍니다.

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

15u을(를) -15u에 추가합니다. 15u 및 -15u이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3x-15x=-30$$

3x을(를) -15x에 추가합니다.

$$-12x=-30$$

양쪽을 -12(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5}{2}$$

3u+3x=0에서 x을(를) \frac{5}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 u에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

3에 \frac{5}{2}을(를) 곱합니다.

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{15}{2}을(를) 뺍니다.

$$3u=-\frac{15}{2}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$u=-\frac{5}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$