다음을 풀어보세요: {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-2$$

$$y=0$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 5에 x+2(을)를 곱합니다.

$$5x+10=4y$$

양쪽 모두에서 4y을(를) 뺍니다.

$$5x+10-4y=0$$

양쪽 모두에서 10을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$5x-4y=-10$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 y-4(을)를 곱합니다.

$$3y-12=6x$$

양쪽 모두에서 6x을(를) 뺍니다.

$$3y-12-6x=0$$

양쪽에 12을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3y-6x=12$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-4y=-10$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$5x=4y-10$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

\frac{1}{5}에 4y-10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

다른 수식 -6x+3y=12에서 \frac{4y}{5}-2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

-6에 \frac{4y}{5}-2을(를) 곱합니다.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

-\frac{24y}{5}을(를) 3y에 추가합니다.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

수식의 양쪽을 -\frac{9}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=0$$

x=\frac{4}{5}y-2에서 y을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=0$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 5에 x+2(을)를 곱합니다.

$$5x+10=4y$$

양쪽 모두에서 4y을(를) 뺍니다.

$$5x+10-4y=0$$

양쪽 모두에서 10을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$5x-4y=-10$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 y-4(을)를 곱합니다.

$$3y-12=6x$$

양쪽 모두에서 6x을(를) 뺍니다.

$$3y-12-6x=0$$

양쪽에 12을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3y-6x=12$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-2,y=0$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 5에 x+2(을)를 곱합니다.

$$5x+10=4y$$

양쪽 모두에서 4y을(를) 뺍니다.

$$5x+10-4y=0$$

양쪽 모두에서 10을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$5x-4y=-10$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 y-4(을)를 곱합니다.

$$3y-12=6x$$

양쪽 모두에서 6x을(를) 뺍니다.

$$3y-12-6x=0$$

양쪽에 12을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3y-6x=12$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

5x 및 -6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

단순화합니다.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -30x+24y=60에서 -30x+15y=60을(를) 뺍니다.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

-30x을(를) 30x에 추가합니다. -30x 및 30x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$24y-15y=60-60$$

24y을(를) -15y에 추가합니다.

$$9y=60-60$$

60을(를) -60에 추가합니다.

$$9y=0$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$y=0$$

-6x+3y=12에서 y을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-6x=12$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=0$$