다음을 풀어보세요: {l}{45+.25x=y}{35+.30x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 45 + .25 x = y } \\ { 35 + .30 x = y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=200$$

$$y=95$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$45+0.25x-y=0$$

양쪽 모두에서 45을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$0.25x-y=-45$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$35+0.3x-y=0$$

양쪽 모두에서 35을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$0.3x-y=-35$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$0.25x-y=-45$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$0.25x=y-45$$

양쪽에 4을(를) 곱합니다.

$$x=4\left(y-45\right)$$

4에 y-45을(를) 곱합니다.

$$x=4y-180$$

다른 수식 0.3x-y=-35에서 -180+4y을(를) x(으)로 치환합니다.

$$0.3\left(4y-180\right)-y=-35$$

0.3에 -180+4y을(를) 곱합니다.

$$1.2y-54-y=-35$$

\frac{6y}{5}을(를) -y에 추가합니다.

$$0.2y-54=-35$$

수식의 양쪽에 54을(를) 더합니다.

$$0.2y=19$$

양쪽에 5을(를) 곱합니다.

$$y=95$$

x=4y-180에서 y을(를) 95(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=4\times 95-180$$

4에 95을(를) 곱합니다.

$$x=380-180$$

-180을(를) 380에 추가합니다.

$$x=200$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=200,y=95$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$45+0.25x-y=0$$

양쪽 모두에서 45을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$0.25x-y=-45$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$35+0.3x-y=0$$

양쪽 모두에서 35을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$0.3x-y=-35$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&-\frac{-1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\\-\frac{0.3}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&\frac{0.25}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20&20\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\left(-45\right)+20\left(-35\right)\\-6\left(-45\right)+5\left(-35\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\95\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=200,y=95$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$45+0.25x-y=0$$

양쪽 모두에서 45을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$0.25x-y=-45$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$35+0.3x-y=0$$

양쪽 모두에서 35을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$0.3x-y=-35$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 0.25x-y=-45에서 0.3x-y=-35을(를) 뺍니다.

$$0.25x-0.3x-y+y=-45+35$$

-y을(를) y에 추가합니다. -y 및 y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$0.25x-0.3x=-45+35$$

\frac{x}{4}을(를) -\frac{3x}{10}에 추가합니다.

$$-0.05x=-45+35$$

-45을(를) 35에 추가합니다.

$$-0.05x=-10$$

양쪽에 -20을(를) 곱합니다.

$$x=200$$

0.3x-y=-35에서 x을(를) 200(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$0.3\times 200-y=-35$$

0.3에 200을(를) 곱합니다.

$$60-y=-35$$

수식의 양쪽에서 60을(를) 뺍니다.

$$-y=-95$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=95$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=200,y=95$$