다음을 풀어보세요: {l}{40x+30y=500}{60x+15y=600}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$40x+30y=500$$

수식의 양쪽에서 30y을(를) 뺍니다.

$$40x=-30y+500$$

양쪽을 40(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

\frac{1}{40}에 -30y+500을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

다른 수식 60x+15y=600에서 -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

60에 -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}을(를) 곱합니다.

$$-45y+750+15y=600$$

-45y을(를) 15y에 추가합니다.

$$-30y+750=600$$

수식의 양쪽에서 750을(를) 뺍니다.

$$-30y=-150$$

양쪽을 -30(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

-\frac{3}{4}에 5을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{25}{2}을(를) -\frac{15}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{35}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

40x 및 60x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 60을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 40을(를) 곱합니다.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

단순화합니다.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2400x+1800y=30000에서 2400x+600y=24000을(를) 뺍니다.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

2400x을(를) -2400x에 추가합니다. 2400x 및 -2400x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$1800y-600y=30000-24000$$

1800y을(를) -600y에 추가합니다.

$$1200y=30000-24000$$

30000을(를) -24000에 추가합니다.

$$1200y=6000$$

양쪽을 1200(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

60x+15y=600에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$60x+15\times 5=600$$

15에 5을(를) 곱합니다.

$$60x+75=600$$

수식의 양쪽에서 75을(를) 뺍니다.

$$60x=525$$

양쪽을 60(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{35}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$