다음을 풀어보세요: {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=6$$

$$y=-10$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$x+4y=-34$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$4y-5x=-70$$

수식의 양쪽에 5x을(를) 더합니다.

$$4y=5x-70$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

\frac{1}{4}에 -70+5x을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

다른 수식 4y+x=-34에서 -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

4에 -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}을(를) 곱합니다.

$$5x-70+x=-34$$

5x을(를) x에 추가합니다.

$$6x-70=-34$$

수식의 양쪽에 70을(를) 더합니다.

$$6x=36$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}에서 x을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

\frac{5}{4}에 6을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{35}{2}을(를) \frac{15}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=-10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-10,x=6$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$x+4y=-34$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=-10,x=6$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$x+4y=-34$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4y-5x=-70에서 4y+x=-34을(를) 뺍니다.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

4y을(를) -4y에 추가합니다. 4y 및 -4y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-5x-x=-70+34$$

-5x을(를) -x에 추가합니다.

$$-6x=-70+34$$

-70을(를) 34에 추가합니다.

$$-6x=-36$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

4y+x=-34에서 x을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4y+6=-34$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$4y=-40$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=-10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-10,x=6$$