다음을 풀어보세요: {l}{4y-3x=8}{ax+4=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 3 x = 8 } \\ { a x + 4 = 2 y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해 (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$ax+4-2y=0$$

양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$ax-2y=-4$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$4y-3x=8$$

수식의 양쪽에 3x을(를) 더합니다.

$$4y=3x+8$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

\frac{1}{4}에 3x+8을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

다른 수식 -2y+ax=-4에서 \frac{3x}{4}+2을(를) y(으)로 치환합니다.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

-2에 \frac{3x}{4}+2을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

-\frac{3x}{2}을(를) ax에 추가합니다.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

양쪽을 -\frac{3}{2}+a(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

y=\frac{3}{4}x+2에서 x을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=2,x=0$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$ax+4-2y=0$$

양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$ax-2y=-4$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=2,x=0$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$ax+4-2y=0$$

양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$ax-2y=-4$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

4y 및 -2y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

단순화합니다.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -8y+6x=-16에서 -8y+4ax=-16을(를) 뺍니다.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

-8y을(를) 8y에 추가합니다. -8y 및 8y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

6x을(를) -4ax에 추가합니다.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

-16을(를) 16에 추가합니다.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

양쪽을 6-4a(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

-2y+ax=-4에서 x을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2y=-4$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=2,x=0$$

x, y에 대한 해

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$ax+4-2y=0$$

양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$ax-2y=-4$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$4y-3x=8$$

수식의 양쪽에 3x을(를) 더합니다.

$$4y=3x+8$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

\frac{1}{4}에 3x+8을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

다른 수식 -2y+ax=-4에서 \frac{3x}{4}+2을(를) y(으)로 치환합니다.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

-2에 \frac{3x}{4}+2을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

-\frac{3x}{2}을(를) ax에 추가합니다.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

양쪽을 -\frac{3}{2}+a(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

y=\frac{3}{4}x+2에서 x을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=2,x=0$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$ax+4-2y=0$$

양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$ax-2y=-4$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=2,x=0$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$ax+4-2y=0$$

양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$ax-2y=-4$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

4y 및 -2y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

단순화합니다.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -8y+6x=-16에서 -8y+4ax=-16을(를) 뺍니다.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

-8y을(를) 8y에 추가합니다. -8y 및 8y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

6x을(를) -4ax에 추가합니다.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

-16을(를) 16에 추가합니다.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

양쪽을 6-4a(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

-2y+ax=-4에서 x을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2y=-4$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=2,x=0$$