다음을 풀어보세요: {l}{4x-y=1}{2x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 1 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x-y=1$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$4x=y+1$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

\frac{1}{4}에 y+1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

다른 수식 2x+y=4에서 \frac{1+y}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=4$$

2에 \frac{1+y}{4}을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

\frac{y}{2}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{3}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{7}{3}$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}에서 y을(를) \frac{7}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{4}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{1}{4}에 \frac{7}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{4}을(를) \frac{7}{12}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

4x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2,4\times 2x+4y=4\times 4$$

단순화합니다.

$$8x-2y=2,8x+4y=16$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x-2y=2에서 8x+4y=16을(를) 뺍니다.

$$8x-8x-2y-4y=2-16$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y-4y=2-16$$

-2y을(를) -4y에 추가합니다.

$$-6y=2-16$$

2을(를) -16에 추가합니다.

$$-6y=-14$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{7}{3}$$

2x+y=4에서 y을(를) \frac{7}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+\frac{7}{3}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{3}을(를) 뺍니다.

$$2x=\frac{5}{3}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$