다음을 풀어보세요: {l}{4x-7y=23}{6x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = 23 } \\ { 6 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x-7y=23$$

수식의 양쪽에 7y을(를) 더합니다.

$$4x=7y+23$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+23\right)$$

\frac{1}{4}에 7y+23을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}$$

다른 수식 6x+2y=-3에서 \frac{7y+23}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}\right)+2y=-3$$

6에 \frac{7y+23}{4}을(를) 곱합니다.

$$\frac{21}{2}y+\frac{69}{2}+2y=-3$$

\frac{21y}{2}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{25}{2}y+\frac{69}{2}=-3$$

수식의 양쪽에서 \frac{69}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{25}{2}y=-\frac{75}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{25}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-3$$

x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{7}{4}\left(-3\right)+\frac{23}{4}$$

\frac{7}{4}에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-21+23}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{23}{4}을(를) -\frac{21}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{7}{50}\\-\frac{3}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 23+\frac{7}{50}\left(-3\right)\\-\frac{3}{25}\times 23+\frac{2}{25}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

4x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$6\times 4x+6\left(-7\right)y=6\times 23,4\times 6x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

단순화합니다.

$$24x-42y=138,24x+8y=-12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 24x-42y=138에서 24x+8y=-12을(를) 뺍니다.

$$24x-24x-42y-8y=138+12$$

24x을(를) -24x에 추가합니다. 24x 및 -24x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-42y-8y=138+12$$

-42y을(를) -8y에 추가합니다.

$$-50y=138+12$$

138을(를) 12에 추가합니다.

$$-50y=150$$

양쪽을 -50(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

6x+2y=-3에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x+2\left(-3\right)=-3$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$6x-6=-3$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$6x=3$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$