다음을 풀어보세요: {l}{4x-3y-10=0}{3x+4y+5=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 3 x + 4 y + 5 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x-3y-10=0$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$4x-3y=10$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$4x=3y+10$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{4}에 3y+10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

다른 수식 3x+4y+5=0에서 \frac{3y}{4}+\frac{5}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y+5=0$$

3에 \frac{3y}{4}+\frac{5}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}+4y+5=0$$

\frac{9y}{4}을(를) 4y에 추가합니다.

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{2}+5=0$$

\frac{15}{2}을(를) 5에 추가합니다.

$$\frac{25}{4}y+\frac{25}{2}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{25}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{25}{4}y=-\frac{25}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{25}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-2$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

\frac{3}{4}에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{2}을(를) -\frac{3}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10+\frac{3}{25}\left(-5\right)\\-\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

4x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 4y+4\times 5=0$$

단순화합니다.

$$12x-9y-30=0,12x+16y+20=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x-9y-30=0에서 12x+16y+20=0을(를) 뺍니다.

$$12x-12x-9y-16y-30-20=0$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-9y-16y-30-20=0$$

-9y을(를) -16y에 추가합니다.

$$-25y-30-20=0$$

-30을(를) -20에 추가합니다.

$$-25y-50=0$$

수식의 양쪽에 50을(를) 더합니다.

$$-25y=50$$

양쪽을 -25(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

3x+4y+5=0에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+4\left(-2\right)+5=0$$

4에 -2을(를) 곱합니다.

$$3x-8+5=0$$

-8을(를) 5에 추가합니다.

$$3x-3=0$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$3x=3$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-2$$